简明微积分

出版时间：2006-4  出版社：高等教育  作者：龚昇  页数：565  
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前言

已出版的微积分教材有很多很多种了，那么我为何还要再写一本？这得从1958年中国科学技术大学成立说起。为了筹建中国科学技术大学，1958年我从中国科学院数学研究所调到中国科学技术大学教书。到学校后，大多数时间教的是非数学专业的高等数学，即微积分。教了8年之后，逐渐对微积分这门学科与这门课程，产生了一些想法与看法。于是在1965年，在中国科学技术大学近代物理系搞了一个试点班，所写的讲义就是本书的初稿。由于十年浩劫，教材直到1978年才由人民教育出版社正式出版第一册，然后出版第二册，到1981年出版第三册，于是完成了本书的第一版。1992年、1997年由中国科学技术大学出版社分别出版了第二版与第三版。现在十分高兴地得知本书能作为“普通高等教育‘十五’国家级规划教材”，由高等教育出版社出版第四版。这本教材从1978年第一版出版后，一直在中国科学技术大学等高校作为教材，沿用至今，已有27年了。至于1965年我对微积分这门学科与这门课程的想法与看法是什么？我于1965年写了一篇短文，题为《对高等数学课程改革的一些尝试》，刊登在《自然辩证法研究通讯》1966年第一期上，对此作了一个十分简要的说明，这当然不可能引起人们的注意。直到30年后的1995年，我在中国科学技术大学数学系的一次教学研讨会上，讲了为何30年前我要写这本微积分教材以及对微积分这门学科、这门课程的一些看法与想法时，大多数教员说从未听过。后来我又在多次有关会议及多所大学讲了这个课题，在同行们的鼓励下，以1966年刊登在《自然辩证法研究通讯》上那篇短文为基础，加以扩展与充实，写成了一本很小的小册子《话说微积分》，于1998年由中国科学技术大学出版社出版。此书后来流传较广，引起了不少人的关注。我的另一本小书《微积分杂谈》，于2002年由科学技术文献出版社出版，这将我那些年刊登过的有关对微积分的论述的文章汇集而成。

内容概要

　　《简明微积分》是普通高等教育“十五”国家级规划教材，是在第三版的基础上，根据作者近年来的教学经验及教学信息反馈修订而成。作者将一些章节进行了修改和补充，扩大了应用实例的范围，突出了数学思想的理解，便于读者更好地深入了解和掌握课程内容。教材将微分与积分、连续与离散、有限与无限等视为矛盾，在强调严格应用数学语言的同时，形象地介绍了它们之间的联系与区别。全书以Newton-Leibniz关于微积分的基本定理及其高维情形的相应Stokes定理为核心贯串始终，观点新颖而深入，在众多微积分教材中可谓独树一帜。《简明微积分》自1978年第一版问世以来，一直在中国科学技术大学作为教本，得到非常高的评价。《简明微积分》在内容安排上较其他通用教材有所区别，共分十一章：微积分的概念，微积分的运算，微积分的一些应用，常微分方程，矢量代数与空间解析几何，重积分与偏微商，线、面积分与外微分形式，多变量微积分的一些应用，ε-δ语言，无穷级数与无穷积分，Fourier级数与Fourier积分。教材集作者多年极为丰富的教学和科研经验之大成，将经过广泛教学实践检验的成果精心编纂，对广大微积分教学工作者具有很高的参考价值，可供高等学校理工类专业学生选用或参考，也可供有关人员学习参考。

书籍目录

第一章 微积分的概念1．1 函数与极限1．1．1 数列极限与函数极限1．1．2 连续函数1．2 定积分1．2．1 计算面积1．2．2 定积分的定义1．2．3 对数函数y=1nx1．3 微商与微分1．3．1 曲线的切线1．3．2 速度．密度1．3．3 微商的定义1．3．4 微分1．3．5 微分中值定理1．4 微积分基本定理第二章 微积分的运算2．1 微分法2．1．1 微商与微分的计算2．1．2 高阶微商与高阶微分2．1．3 利用微分作近似计算2．2 积分法2．2．1 不定积分的计算2．2．2 定积分的计算2．2．3 定积分的近似计算第三章 微积分的一些应用3．1 面积．体积．弧长3．1．1 面积3．1．2 体积3．1．3 弧长3．2 曲线的描绘3．2．1 函数图形的上升和下降3．2．2 函数图形的凹与凸3．2．3 曲线的渐近线3．2．4 描绘图形的例子3．2．5 曲率3．3 Taylor(泰勒)展开与极值问题3．3．1 Taylor(泰勒)展开式3．3．2 极值问题3．4 物理应用举例第四章 常微分方程4．1 一阶微分方程4．1．1 概念4．1．2 分离变量4．1．3 线性方程4．2 二阶微分方程4．2．1 可降阶的方程4．2．2 二阶线性方程4．2．3 常系数线性方程4．2．4 质点振动4．2．5 n阶线性微分方程与常微分方程组第五章 矢量代数与空间解析几何5．1 空间直角坐标系与矢量5．1．1 直角坐标系5．1．2 矢量的加法与数乘5．2 矢量的乘积5．2．1 矢量的内积5．2．2 矢量的外积5．2．3 矢量的混合积5．3 平面与直线5．3．1 平面方程5．3．2 直线方程5．4 二次曲面5．4．1 柱面5．4．2 旋转曲面5．4．3 锥面5．4．4 椭球面5．4．5 双曲抛物面5．4．6 单叶双曲面5．4．7 双叶双曲面5．4．8 椭圆抛物面5．5 坐标变换5．5．1 坐标系的平移5．5．2 坐标系的旋转第六章 重积分与偏微商6．1 重积分6．1．1 多变量函数的极限与连续性6．1．2 重积分的概念6．1．3 重积分的计算6．2 偏微商6．2．1 偏微商与全微分6．2．2 隐函数的微商6．3 Jacobi(雅可比)行列式．面积元素与体积元素6．3．1 Jacobi(雅可比)行列式的性质6．3．2 面积元素与体积元素第七章 线．面积分与外微分形式7．1 数量场与矢量场7．1．1 数量场的等值面与梯度7．1．2 矢量场的流线7．2 曲线积力7．2．1 第一种曲线积分(关于弧长的曲线积分)7．2．2 第一种曲线积分的应用(旋转曲面的面积)7．2．3 第二种曲线积分(关于弧长元素投影的积分)7．2．4 第二种曲线积分的计算方法7．2．5 两种曲线积分的关系7．2．6 矢量场的环流量,矢量的曲线积分7．3 曲面积分7．3．1 第一种曲面积分(关于面积元素的曲面积分)7．3．2 矢量场的通量,第二种曲面积分(关于面积元素投影的积分)7．3．3 第二种曲面积分的计算方法7．4 Stokes公式7．4．1 Green公式7．4．2 Gauss公式．散度7．4．3 Stokes公式．旋度7．5 全微分与线积分7．5．1 与途径无关的曲线积分7．5．2 有势场7．5．3 管型场7．6 外微分形式7．6．1 外乘积．外微分形式7．6．2 外微分运算Poincare引理及其逆7．6．3 梯度．旋度与散度的数学意义7．6．4 多变量微积分的基本定理(Stokes公式)第八章 多变量微积分的一些应用8．1 Taylor(泰勒)展开与极值问题8．1．1 多变量函数的Taylor展开8．1．2 多变量函数的极值问题8．1．3 条件极值问题8．2 物理上的应用举例8．2．1 重心．转动惯量与引力8．2．2 流体动力学的完全方程组8．2．3 声的传播8．2．4 热的传导第九章 ε-δ语言9．1 数列极限的ε-N语言9．1．1 数列极限的定义9．1．2 数列极限的一些性质9．1．3 极限存在的判别准则9．2 函数连续性的ε-δ语言9．2．1 连续趋限9．2．2 连续函数的定义9．2．3 连续函数的一些基本性质9．2．4 函数的一致连续性9．3 定积分的存在性9．3．1 Darboux和9．3．2 连续函数的町积性9．3．3 定积分概念的推广第十章 无穷级数与无穷积分10．1 数项级数10．1．1 基本概念10．1．2 一些收敛判别法10．1．3 条件收敛级数10．2 函数项级数10．2．1 无穷次相加产生的问题10．2．2 一致收敛函数列10．2．3 一致收敛函数项级数10．2．4 隐函数存在定理10．2．5 常微分方程解的存在性与唯一性10．3 幂级数与Taylor级数10．3．1 幂级数的收敛半径10．3．2 幂级数的性质10．3．3 Taylor级数10．3．4 幂级数的应用10．4 无穷积分与含参变量积分10．4．1 无穷积分的收敛判别法10．4．2 含参变量的积分10．4．3 含参变量的无穷积分10．4．4 几个重要的无穷积分第十一章 Follrier级数与Fourier积分11．1 Fourier级数11．1．1 三角函数系的正交性11．1．2 Bessel不等式11．1．3 Fourier级数的收敛判别法11．2 Fourier积分11．2．1 Fourier积分11．2．2 Fourier变换11．2．3 Fourier变换的应用11．2．4 高维Fourier变换习题答案

章节摘录

插图：

编辑推荐

《简明微积分》为普通高等教育“十五”国家级规划教材之一。

用户评论 (总计26条)

•   我是一名高校教师，刚刚毕业不久，因为教工科的技术基础课，需要复习微积分、微分方程、复变、线性代数等。本来不想读国内的书，因为国内占统治地位的同济《高数》与菲赫金哥尔茨《微积分学教程》等国际流行的优秀教材的差距巨大，所以对国内教材失去信心。读龚先生的书纯属偶然，因在网上看到龚先生的数学基础和线性代数讲座，我感觉深受教育，所以就去图书馆借此书，后来感觉实在值得多读几遍，就买了一本。第四版书中吴文俊先生的序言指出，“让高校的初学者轻松地登堂入室”，此言不虚！本书贯穿几种基本观点，比如：一维微积分的矛盾是牛莱公式，多维微积分的矛盾是stoke公式，级数与积分的相似处，这些的确是初学者应当掌握的。更该提到的是多维微积分方面，作者竟然能在初等的水平上讲解一些高等微积分的知识（微分形式），这体现出龚先生的确是了不起的教师。后来我又了解到龚先生还有几本好书。同济《高数》与《简明》完全不在一个级别。本书比较严密，比如积分的存在性、微分方程解的存在唯一性等等，都是国内其他微积分或者高数教材没有的。这些知识只有数学系的本科生才念。可是这些都是十分重要的，不能忽略的。工学的研究生也能接触一些，但是太晚了。虽然在各个方面，在我看来《简明》不是最优的，然而微积分、分析学方面的书，这本书绝对值得一读。比如《教程》比如kreyszig的《高等工程数学》非...常易懂，但是，对初学者来说篇幅巨大，难以用短时间读完，这对初学者是很大的打击。比如rudin的《数学分析原理》《实分析与复分析》等一些国际流行的优秀教材虽然十分严密，但难度相当大，对数学上不够成熟又对数学有兴趣的初学者打击就更大。《实与复》我六年前就有，由于某些原因至今都没能应付自如。数学的严密性和系统性非常重要，但是对初学者而言，知道书本写的“到底是啥”比严密的逻辑要重要的多。是啥都不知道，怎么用它们基本上就是天方夜谭了。虽然最好的学习是先知道“什么东西是我必须学的”，而不是“我知道的这些东西有什么用”或者“我到底知道了个啥”，但是对大多数的初学者而言，“什么是我必需的”这个问题比后面两个难太多。所以只能退而求其次，了解了“我知道的这些东西有什么用”或者“我到底知道了个啥”，也很好。知识能够积累，能力能得到锻炼，慢慢就能思考“什么东西是我必须学的”这个可能是一个人一辈子都要认真考虑的大问题了。《简明》一书，我两个通宵，几乎一口气读完，后来又读了几遍，每次都有收获。从内容取材上看，本书是初等的，但不失严密性；还包括一些高级的课题；从材料的处理上看，本书直入主题，切中要害；思路清楚异常，语气亲切，如同龚先生本人对读者讲解。而且不能忽略的是，这本书很薄，太适合初学者了。综合上面几点，这本书太棒了。不推荐此书，天理难容。 阅读更多 ›
•   龚昇教授是我最钦佩的大师之一！他写的这本《简明微积分》，突破了传统高数教材的结构框架，抓住了微积分的主要矛盾，从较高的层次把微积分的内容娓娓道来，全书内容精彩而引人入胜，可以说是把“微积分”给讲“活”了！不管是对初学者还是对学过高等数学想提高数学素养的人来说，本书都是一本不可多得的优秀教材！什么同济版之流的教材与此书相比简直就不是一个境界的！如果再配合科大的《高等数学导论》和龚昇教授的《微积分五讲》一起互为参考学习，那种感觉简直是妙不可言！龚昇教授在他的一本论文集中写到：“我无学位，非院士，不过是一个普普通通的老教书匠”。但是他的数学素养和水平绝对不亚于任何院士。在国产的数学资料中，能让我怀着尊敬的心态拜读大作的高水平高师德的大师不多，华罗庚，陈希孺，龚昇，李尚志，张筑生，史济怀，曾肯成。仅此数位.
•   如题，希望出版社不要为了省钱，纸质太差了，看几下就会烂掉的。
•   这本教材是我见过的最与众不同的写作结构，极限讲过后不是按常规教材那样讲导数、微分、微分的性质然后是不定积分.....而是按微积分的历史发展顺序和学生更容易接受的顺序，开篇就讲定积分，然后才是微分。尤其值得赞赏的是在后面专门讲述了ε-δ语言，对微积分的基本概念进行严密的逻辑化，可以作为工科学生更高的要求。书中贯穿牛顿-莱布尼兹公式这一矛盾转化的关系，在多元函数微积分中贯穿外微分内容，是国内教材唯一的。大力推荐。
•   这本书是一本非常好的书，我觉得微积分方面的书很多，但多不实用，而这本书很实用。1，学微积分不要一开始讲太多理论，要先会用，要先知道大概，以后才能继续深究。2，联系到应用，特别是物理上面。3，要有一定的理论，要言之成理，但要简明。总之，此书非常好！
•   非常棒的微积分教材，思路清晰，比国内的多数互相抄袭的微积分教科书强多了！
•   龚教授大神！书编的很好。
•   中间的几页印刷重复，而且还缺几页
•   大师的杰作，对于想学好微积分的同学，是一本不错的教材！
•   此书将一些公式的推导讲得很好，貌似我在图书馆看的其他版本的讲的没他流畅，那些书相比下太死板了。推荐~
•   内容精彩新颖，例题详细。
•   很厚一本，价值也不贵。不过内容上有点跳跃性，对于没基础的人来说可能会有些吃力。看了几页就放在家里了，现在看的是《数学分析原理》（第二卷）中文版，菲赫金哥尔茨著。那本难些，但开始很循序渐进。
•   大学里学习微积分知识，往往都是以片段的形式讲授，几乎没有老师用连贯的方式来讲整个微积分。所以这本书真好，作者把微积分的知识全部串起来了。符合人的思维习惯。
•   书算国内大家之作 内容自己读了方知 只是此书较之前些年的版次书页纸张太薄 真真个节约环保啊！
•   还不错，孩子高一。高中生看难度大...................
•   内容安排比较科学，纸太薄了吧
•   很别致的一本书，就是因为其别致才买来看，刚开始看，还算易上手，看起来给人感觉思路很清楚，至少感觉比同济那本看起来感觉好。中国顶尖数学家华罗庚弟子写的书，中科大教科书。建议，同学们看看作者的历史。挺好，印刷有些小小瑕疵但无伤大雅，我这样的菜鸟都能看出来的错，装订有些差强人意，前两页快掉了，有些倒胃口，不过整体还可以。
•   帮人代买的，应该还不错
•   基本上就是一本垃圾书
•   混积分 评论难写
•   《简明微积分》
•   经典书，但质量像盗版
•   总结的很多，蛮有用的，还不错
•   经典的微积分教材
•   看到好评就买了！
•   龚昇老先生的书