交换环上有限生成投射模

出版时间：2012-1  出版社：科学出版社  作者：陈焕艮  页数：219  

内容概要

代数K理论是代数学的重要研究方向之一，在泛函分析、代数拓扑、代数数沦和代数几何中都有着广泛应用本书以代数K理论中的　群力主要线索。系统地讨论了交换环上有限生成投射模全书共分6章。内容包括棋与　群基本理论、具有无挠和挠r0群的环、环的投射自由性、稳定环与模的消去问题、尾群以及　群等内容本书深入浅出，简洁明了，阅读本本书只需具备高等代数和抽象代数的基础知识。书中包含了很多经典结果。也融入了作者的许多研究成果
町以使读者在较短的时间内熟悉该方向的研究进展。
本书可供代数学及其相关方向研究生以及高年级本科生阅读，也可供对代数学感兴趣的数学丁作者及科研人员参考。

书籍目录

前言
符号表
第1章　模与 群
　模的性质
　群
　稳定自由模
第2章　K0群无挠的环
　等价特征
　多项式环的‰群
　群无挠群环
第3章　具有挠约化群的环
　约化群的性质
　Dedekind环约化群
　群环的约化群
第4章　环的投射自由性
　投射自由环
　群环上有限生成投射模
　连通环及其性质
第5章　稳定环与模消去问题
　稳定环及其推广
　模的消去性
　可逆模与Picard群
第6章　群与 群
　群的结构
　自同态及其诱导群
　群与2-PSF环
参考文献
索引

章节摘录

版权页：插图：第1章 模与K0群模是域上向量空间和Abel群在环上的推广，它是代数学的主要研究对象之一K0群是由环导出的一类Abel群，它从外部对环进行了很好刻画。没有特别声明时，本书中所有的环都是带单位元1的交换环，本章讨论交换环上模与K0群的基本性质。1.1 模的性质本节首先讨论模的概念和基本性质，关于更多的经典结果，读者可参考文献[2]，[60]和[130]。定义1.1.1设R为带单位元1的交换环，M为Abel群.如果M和R间有一个运算：M￡R！M满足条件（1）对任意的m2M；r1；r22R，有m￠（r1+r2）=m￠r1+m￠r2；（2）对任意的m1；m22M；r2R，有（m1+m2）￠r=m1￠r+m2￠r；（3）对任意的m2M；r1；r22R，有m￠（r1r2）=（m￠r1）￠r2；（4）对任意的m2M；m￠1R=m。则称M为R-模。例1.1.2Abel群G为Z-模，其中模运算\￠""利用环中的加法运算来定义，即g￠m=g+g+￠￠￠+g|{z}m（m>0）；g￠0=0和g￠m=（？g）+（？g）+￠￠￠+（？g）|？{mz}（m0，使得F？=Rn.称R-模P为有限生成投射R-模，如果存在R-模Q，使得P？Q是有限生成自由模.显然，有限生成自由R-模都是有限生成投射的，但反之不然.进一步还可以定义一般的自由模和投射模。例1.1.9Z2是有限生成投射Z6-模，但不是有限生成自由的。证由例1.1.8知，Z6？=Z2？Z3，所以Z2是有限生成投射Z6-模.假定Z2是有限生成自由Z6-模，则有n2N使得Z2？=Zn6，故有2=6n，矛盾，从而Z2不是有限生成自由的。称0！Ag！Bf！C！0为R-模正合列，如果g为单同态，Kerf=Img且f为满同态。命题1.1.10设P为R-模，则P为有限生成投射R-模当且仅当（1）存在有限集fpiji2IgμP，使得对任何p2P，有friji2IgμR满足p=Xi2Ipiri，这里I为指标集；（2）对任何R-模正合列0！Ag！Bf！P！0，有h：P！B，使得fh=1P。证设P为有限生成投射R-模，从而有'：Rn？=P？Q.令x1=（1；0；￠￠￠；0），￠￠￠；xn=（0；0；￠￠￠；1）；pi=？'（xi），这里？：P？Q！P，（p；q）=p.对任何p2P，由于？'为满同态，容易验证有fr1；￠￠￠；rngμR，使得p=nXi=1piri.设有R-模正合列0！Ag！Bf！P！0，有fb1；￠￠￠；bngμB使得f（bi）=pi。定义μ：Rn！B；μ（xi）=bi.令á：P！P？Q；á（p）=（p；0），h=μ'？1á：P！B。对pj，记'？1（pj）=nXi=1xiri，直接验证知fh（pj）=f？nXi=1biri！=nXi=1piri。注意到'？nXi=1xiri！=pj，从而？'？nXi=1xiri！=？（pj）=pj；所以nXi=1piri=pj，故有fh=1P。假定（1）和（2）成立，定义f：Rn！P；f（xi）=pi，从而有R-模正合列0！Kerfg！Rnf！P！0，其中g：Kerf！Rn；g（x）=x为嵌入同态，所以有h：P！Rn使得fh=1P.定义'：P？Kerf！Rn；'（p；q）=h（p）+q，直接验证知'既是单同态又是满同态，从而'为模同构，故P为有限生成投射R-模。定理1.1.11（对偶基定理）设P为R-模，则下列等价：（1）P为有限生成投射R-模；（2）存在有限集fpiji2IgμP，ffi：P！Rji2Ig，对任何p2P，有p=Xi2Ipifi（p），这里I为指标集。证（1））（2）设'：Rn？=P？Q.令x1=（1；0；￠￠￠；0）；￠￠￠；xn=（0；0；￠￠￠；1）。根据命题1.1.10，存在有限集fp1；￠￠￠；pngμP，使得对任何p2P，有fr1；￠￠￠；rngμR满足p=nXi=1piri.令á：P！P？Q；á（p）=（p；0），gj：Rn！R；gj（xi）=1（i=j）；gj（xi）=0（i6=j）.令fj=gj'？1á：P！R.直接验证知rj=fj（p），故有p=nXi=1pifi（p）。（2））（1）给定R-模正合列0！Ag！Bf！P！0，对任何pi2P，有bi2B使得f（bi）=pi.作同态h：P！B；h（p）=nXi=1bifi（p），则有fh=1P，根据命题1.1.10，P为有限生成投射R-模。设A；B为R-模，所有B到A的R-模同态全体记为HomR（B；A）；定义运算：（f+g）（m）=f（m）+g（m），取0：M！M；m7！0为零元，则HomR（B；A）是Abel群.进一步，HomR（B；A）是R-模.设P为有限生成投射R-模，对任何R-模正合列0！Ag！Bf！C！0，容易验证有R-模正合列0！HomR（P；A）g¤！HomR（P；B）f¤！HomR（P；C）！0，这里g¤（h）=gh；f¤（k）=fk.假定aA+bB=A，a2HomR（A；A）及b2HomR（B；A），记A的子模fr2Aja（r）2bBg为A（a；b）。引理1.1.12设A；B为R-模，若对任何a2HomR（A；A）；b2HomR（B；A），aA+bB=A）存在R-模同态？：A（a；b）！B使得ajA（a；b）+b？：A（a；b）！bB为同构，则对任何R-模C，A？B？=A？C=）B？=C：证假若A？B？=A？C，则有正合列0！Ci，！A？B'！A！0；其中'=（a；b）；a2HomR（A；A）且b2HomR（B；A），进一步可构造模同态μ=？cd！：A！A？B使得'μ=1A，其中c2HomR（A；A）；d2HomR（A；B）。因而ac+bd=1A，故aA+bB=A.由假定，有模同态？：A（a；b）！B，使得u：=ajA（a；b）+b？：A（a；b）！bB是同构.令M=A（a；b）？B，构造R-同态？=？u？1？u？1！：bB！M：显然，ajA（a；b）u？1+b？u？1=1bB，因而（'jM）？=1bB，故M=Ker（'jM）？Im（？）.显然，Ker（'jM）μKer（'）.如果（r1；r2）2Ker（'），从而a（r1）+b（r2）=0；r12A；r22B，所以a（r1）2bB，故有r12A（a；b），进而（r1；r2）2M，得（r1；r2）2Ker（'jM），这导致Ker（'）=Ker（'jM），所以M=Ker（'）？Im（？）.另一方面，？？=1bB，这里？=（u；0）：M=A（a；b）？B！bB.结果有M=Ker（？）？Im（？）=B？Im（？），从而B？=Ker（'）？=C，所以结论成立。交换环R称为半遗传环，如果R的有限生成理想为投射R-模.如Z[p10]和Z[p？5]为半遗传环.下面讨论半遗传环上有限生成R-模的一类消去问题。定理1.1.13设R为半遗传环，B；C为有限生成R-模，则有R？B？=R？C=）B？=C：证给定aR+bB=R；a2R；b2HomR（B；R）.由假定知R（a；b）=bB是有限生成投射R-模，根据定理1.1.11，有fxigμR（a；b）；fi2HomR（R（a；b）；R）使得对任何x2R（a；b），x=Xixifi（x），这里仅有有限多fi（x）非零.令a¤：B！B由a¤（r）=ra；r2B定义，由于R是交换的，a¤是R-模同态.由aR+bB=R知，1=ac+bd，其中c2R；d2B，因而xi=axic+bdxi2bB，所以存在pi2B，使得xi=b（pi），故有x=Xib（pi）fi（x）=b？Xipifi（x）！.定义h：R（a；b）！B；h（p）=Xipifi（p）。

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《交换环上有限生成投射模》由科学出版社出版。

用户评论 (总计2条)

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