黎曼几何基础

出版时间：2011-2  出版社：北京师范大学出版社  作者：唐梓洲  页数：141  
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内容概要

　　本书共分八章，力求语言和叙述简洁精炼。第一章简述了微分流形的基本内容，是学习后面章节的基础。第二章到第六章是黎曼几何的必备。依本人的兴趣，第七章讲子流形理论，第八章讲复几何。希望所著之书的内容，既在基础理论上自成体系，又能给读者奠定坚实的基础。

作者简介

北京师范大学教授，长江学者特聘教授。

书籍目录

第一章　微分流形
　§1.1　光滑结构
　§1.2　浸入与嵌入
　§1.3　几种特殊的流形与流形的定向
　§1.4　光滑向量场
　§1.5　李群
第二章　度量
　§2.1　黎曼度量
　§2.2　度量形式与体积
第三章　联络
　§3.1　仿射联络
　§3.2　Levi—Civita联络
第四章　测地线
　§4.1　测地流
　§4.2　测地线的极小性质
　§4.3　测地凸邻域
　§4.4　黎曼流形上的微分算子
第五章　曲率
　§5.1　曲率张量
　§5.2　截面曲率
　§5.3　Ricci曲率和数量曲率
　§5.4　张量
　§5.5　活动标架
　§5.6　Gauss—Bonnet定理
第六章　Jacobi场
　§6.1　Jacobi方程
　§6.2　共轭点
第七章　子流形几何
　§7.1　第二基本型
　§7.2　基本方程
　§7.3　活动标架
第八章　Hermitian几何
　§8.1　近复结构
　§8.2　Hermitian流形
　§8.3　活动标架
参考文献
中文索引
英文索引　

用户评论 (总计15条)

•   这是北京师范大学数学教材中的一部,黎曼几何的著作很多,有很多高水平的专著,而这本教材很适合学生阅读.
•   对于没有基础的有点难度
•   本书很薄，内容浅显易懂。对于非数学专业的，从事力学、机构学等研究的人员适用。
•   写的简洁到位，直接！不错！
•   书还是很不错的，值得拥有。
•   zhong
•   tang的讲义，整体比较简明，择其精要，适合初学
•   开拓了我们的思维，丰富了知识，配合着看相对论，效果很好！
•   唐先生力作，师大同学可以收藏，听耐读的。
•   排版太不好了
•   由于科研需要，就买了，看网评不错。不过看了书的第一页的第一个定义就急了。看不懂啊。。。在网上查了很久，好像需要先学拓扑学。又买了北师大和北大的拓扑学教材。希望能看懂了吧。
•   感觉是大孩子学的书
•   数的难度不小
•   纸张质量、印刷都还行
•   　　http://blog.renren.com/blog/238676153/852290722
  　　
  　　 这学期的黎曼几何课昨天结束了，向大家介绍一下我们的教材《黎曼几何基础》（唐梓洲著北师大出版社）。这门课我前后听过三次，前两次用的英文版讲义，这一次是中文版教材，对它有一定的熟悉程度。
  　　
  　　 这是一本关于几何的书，开篇便是微分流形，以多元微积分和初等线性代数为起点，用尽可能短的篇幅完整介绍了流形的基本概念，随后便是度量、联络、曲率、Jacobi场等必备的黎曼几何概念，最后讲述子流形几何和Hermitian几何。值得一提的是，第一章的末尾完整叙述了李群李代数的相关概念，可以看做一个小型的李群教程。
  　　
  　　 通常的黎曼几何教材从多重线性代数的准备知识入手，开篇便是对偶空间、张量积、外代数（Grassmann代数）的运算法则，一个概念接着一个概念，完全的代数风格。初学者往往一上来便豪情万丈浮想联翩，一种接触现代数学的错觉油然而生，接着便是扑上去沉沦于张量上下标的海洋中不能自拔，醉心于摆弄符号运算规则，不经意间几何直观消逝殆尽，完全忘记了所读的是一本关于“几何”的书。
  　　
  　　 如Atiyah所说，对几何学家而言，代数就是所谓的“浮士德的奉献”，在歌德的故事里，浮士德通过魔鬼得到他所想要的（就是一个漂亮女人的爱），其代价是出卖他的灵魂，代数就是魔鬼回馈给数学家的礼物，条件是暂时停止用几何的观念考虑问题。唐老师的《黎曼几何基础》花了很大的心思来避免这种不必要的抽象，尽可能的就题论题，直接入手。例如，书中讲微分形式、外微分运算，但并不提没必要的“对偶空间”、“外代数”等概念；书中先是几何风格地讲述了度量张量、黎曼曲率张量，等读者通过前几章的学习过渡适应了，才在第五章第四节给出（或者说是总结出）张量的一般定义。随后介绍张量的协变微分概念，紧接着便给出应用，即第二Bianchi恒等式。总之，这里都是以几何为中心来组织代数概念，不到万不得已，并不随意引进新的代数概念。
  　　
  　　 这本书的方法始终是“直接入手”，即尝试尽可能直接证明问题，而不是套用一般的抽象理论。最明显的例子是5.5节，书中直接用初等微积分算出了单位球面的上同调群。
  　　
  　　 这本书明显受作者科研兴趣的影响。唐老师早年关心黎曼流形的等距嵌入问题，以及近复结构的可积性问题，这些在书中都有体现。例如，书中的例题和习题多次涉及到射影空间到欧氏空间的浸入、嵌入问题，Lobatcheski上半平面到四维欧氏空间的等距浸入存在性问题等，给出了一些其他黎曼几何教材中不太常见的例题和习题；再如，本书最后讲述Hermitian几何，但重点不在讨论复结构或Kahler结构，而是侧重讨论复结构存在的几何拓扑限制。另外，《黎曼几何基础》中，多个例题习题都有提到四元数、八元数（Cayley数）的运用，这也是受作者科研兴趣的影响。
  　　
  　　 《黎曼几何基础》中介绍不变形式法和活动标架两套运算工具，其中活动标架法可以说是详细的系统讲述了三次，先是在讲述黎曼流形的结构方程时，然后是子流形几何部分、Hermitian几何的活动标架途径。活动标架法是E.Cartan的独创，陈省身先生将它运用到炉火纯青的程度，唐老师的导师彭家贵先生则是第一个将活动标架法带回大陆的人。
  　　
  　　 用150页左右的篇幅完整黎曼几何几乎完全不可能，书中很多话题也只是点到为止。比如第六章讲Jacobi场及其共轭点，通常情况下之后紧跟着便是指标形式和各种经典的曲率比较定理；又如第八章讲Hermitian，提到Kaehler流形具有相当好的几何拓扑性质，便完全不再往下深入了，当然这些方面并不缺乏成熟的教材。总之，唐老师的教材主要着眼点还是基础的内容，对于进一步的学习只满足于指出方向。
  　　
  　　 当然，如果作为读者，您坚持Peter Peterson的Riemiann Geometry更好些，那只能说明您已不是刚入门阶段的读者了，这本书不是为你写的。